Question

已知點F是雙曲線x2-

y2

2

=1的一個焦點，過點F作直線l交雙曲線于兩點P、Q，若|PQ|=4，則這樣的直線l有且僅有（　　）

A．四條

B．三條

C．兩條

D．一條

Answer 1

分析：當直線l與雙曲線左右各有一個交點時，弦長|PQ|最小為實軸長2a=2，若|PQ|=4，則這樣的直線l有且僅有兩條，當直線l與雙曲線的一支有兩個交點時，弦長|PQ|最小為通徑長

2b2

a

=4，若|PQ|=4，則這樣的直線l有且僅有1條，數形結合即可

解答：解：如圖：當直線l與雙曲線左右各有一個交點時，弦長|PQ|最小為實軸長2a=2，
當直線l與雙曲線的一支有兩個交點時，弦長|PQ|最小為通徑長

2b2

a

=4
根據雙曲線的對稱性可知，若|PQ|=4，則當直線l與雙曲線左右各有一個交點時，這樣的直線l可有兩條，當直線l與雙曲線的一支有兩個交點時，這樣的直線l只有1條，所以若|PQ|=4，則這樣的直線l有且僅有3條
故選B

點評：本題考查了雙曲線的幾何性質，特別是直線與雙曲線相交時弦長的幾何性質，在平時的學習中注意積累一些結論，對解決此類選擇題很有好處