Question

【題目】在四棱錐中，平面，，底面是梯形，，，．

（1）求證：平面平面；

（2）設為棱上一點，，試確定的值使得二面角為．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）過作于，根據條件可證明平面，平面，再由面面垂直的的判定即可得證；（2）根據條件可作出二面角的平面角，從而即可建立關于的方程，或建立空間直角坐標系，求得兩個平面的法向量后亦可建立關于的方程，從而求解．

試題解析：（1）∵平面，平面，平面，

∴，，在梯形中，過點作作于，

在中，，又在中，，

∴， ∵，，，

平面，平面，∴平面，∵平面，

∴，∵，平面，平面，∴平面，

∵平面，∴平面平面；（2）法一：過點作交于點，過點作于點，連，由（1）可知平面，∴平面，∴，

∵，∴平面，∴，∴是二面角的平面角，

∴，∵，∴，∵，∴，

∴，由（1）知，∴，又∵，∵，∴，

∴，∵，∴；法二：以為原點，，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系(如圖)

則，，，，令，則

，，∵，∴，

∴，∵平面，∴是平面的一個法向量，

設平面的法向量為，則 ，即 即 ，

不妨令，得，∵二面角為，

∴，解得， ∵在棱上，∴，故為所求．