Question

【題目】已知定義在R上的奇函數f（x），若函數f（x+1）為偶函數，且f（1）=1，則f（i）=______．

Answer 1

【答案】1

【解析】

因為函數f（x+1）為偶函數，所以f（x）的對稱軸為x=1，再有奇函數性質得周期為4，找出一個周期的f（i）取值，進而求得．

因為函數f（x+1）為偶函數，所以f（x+1）的對稱軸為x=0，

所以f（x）的對稱軸為x=1，所以f（x+1）=f（1-x），

又因為f（x）是R上的奇函數，所以f（x+1）=f（1-x）=-f（x-1），

所以f（x+2）=-f（x），f（x+4）=-f（x+2）=f（x），所以f（x）的周期為4，

且f（1）=1，f（2）=f（-2）=-f（2），

所以f（2）=0，f（3）=f（-1）=-1，f（4）=f（0）=0，

=504×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）=1，

故答案為：1．