Question

已知外接圓半徑為6的△ABC的邊長a、b、c，角B、C和面積S滿足條件：S=a²-（b-c）²和sinB+sinC=

4

3

．
（1）求sinA的值；
（2）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由三角形的面積公式，結合余弦定理求出tan

A

2

的值，進而有sinA=

8

17

．
（2）利用sinB+sinC=

4

3

，結合正弦定理，求出b+c的值，利用三角形的面積公式和基本不等式求出面積的最大值．

解答：解：（1）由S=

1

2

 bcsinA=2bc-（b2+c2-a2）=2bc-2bccosA得，

1

4

=

1-cosA

sinA

=tan

A

2

，
∴sinA=

8

17

．
（2）（2）∵sinB+sinC=

4

3

，∴

b

2R

+

c

2R

=

4

3

，即b+c=

4

3

•2R=16，所以S=

1

2

bcsinA=

4

17

bc≤

4

17

（

b+c

2

）2=

256

17

，
故當b=c=8時，△ABC面積取得最大值為

256

17

．

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡，正弦定理、余弦定理的應用，三角形的面積公式以及基本不等式的應用，考查計算能力，邏輯推理能力，屬于中檔題．