Question

已知動點P對應的復數z滿足|z+c|+|z-c|=2a（a＞c＞0），且點P與點A（-a，0），B（a，0）連線的斜率之積為-

1

2

，則

c

a

等于（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  2

  2

• C、

  1

  2

• D、

  3

  3

Answer 1

分析：由已知結合橢圓的定義得P的軌跡方程，設出動點P的坐標，代入橢圓方程，結合點P與點A（-a，0），B（a，0）連線的斜率之積為-

1

2

，得到a與b的關系，再結合b²=a²-c²求解

c

a

的值．

解答：解：∵動點P對應的復數z滿足|z+c|+|z-c|=2a（a＞c＞0），
∴動點P的軌跡為復平面內的橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1．
設P（x₀，y₀），則

x02

a2

+

y02

b2

=1  ①，
由點P與點A（-a，0），B（a，0）連線的斜率之積為-

1

2

，得

y0

x0+a

•

y0

x0-a

=-

1

2

  ②，
聯立①②得：a²=2b²，
又b²=a²-c²，
∴a²=2（a²-c²），
解得：

c

a

=

2

2

．
故選：B．

點評：本題考查了復數的代數表示法和幾何意義，考查了橢圓的幾何性質，體現了整體運算思想方法，是中檔題．