Question

【題目】已知函數，，．

（1）若存在極小值，求實數a的取值范圍；

（2）若，求證：．

Answer 1

【答案】（1）

（2）證明見解析

【解析】

（1）先求函數的導函數，通過分類討論導數的符號情況，得出極值情況，從而可求；

（2）先把目標不等式等價轉化，構造新函數，求導，判定單調性，得到最值，然后可證.

解：（1）由題意得，令，

則．

∴當時，得，此時單調遞減，且，，

當時，得，此時單調遞增，且，，

∴．

①當，即時，，于是在上是增函數，

從而在上無極值．

②當，即時，存在，使得，

且當時，，在上單調遞增；

當時，，在上單調遞減；

當時，，在上單調遞增，

故是在上的極小值點．

綜上，．

（2）要證）即等價于證明．

①當時，得，，

顯然成立；

②當時，則，

結合已知，可得．

于是問題轉化為證明，

即證明．

令，，

則，

令，

則，

易得在上單調遞增．

∵，，

∴存在使得，即．

∴在區間上單調遞減，

在區間上單調遞增，

又，，

∴當時，，單調遞減，

當時，，單調遞增，

∴，

故，問題得證．