Question

【題目】如圖：在四棱錐中，底面是正方形，，，點在上，且.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

Answer 1

【答案】（1）證明見解析過程；（2）.

【解析】

（1）連接交于于點，連接，利用等腰三角形的性質、正方形的性質，結合線面垂直的判定定理可以證明出與平面垂直，進而得到，最后利用勾股定理的逆定理和線面垂直的判定定理進行證明即可；

（2）建立空間直角坐標系，根據空間向量夾角公式進行求解即可.

（1）連接交于于點，底面是正方形，所以，是的中點，因為，所以,因為，

所以，,因為,因此平面，而平面，所以，因為，，，所以有，因此，，平面，因此平面；

（2）由（1）可知：平面，而是正方形，因此以所在的直線為橫軸，縱軸和豎軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：

，因為，所以可得，

由（1）可知：平面，所以平面的法向量為：，設平面的法向量為：，，因此有

，

設二面角的平面角為，所以有;

.