Question

【題目】已知函數f（x）=|x+1|﹣|x|+a．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥x的解集；
（2）若對任意x∈R，f（x）≥0恒成立，求a的范圍；
（3）若方程f（x）=x有三個不同的解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=0，不等式f（x）≥x化為不等式|x+1|﹣|x|≥x．

x≤﹣1時，﹣x﹣1+x≥x，∴x≤﹣1；

﹣1＜x＜0時，x+1+x≥x，∴﹣1＜x＜0；

x≥0時，x+1﹣x≥x，∴0≤x≤1；

綜上所述，不等式f（x）≥x的解集為{x|x≤1}

（2）解：若對任意x∈R，f（x）≥0恒成立，|x|﹣|x+1|≤a恒成立，

∵|x|﹣|x+1|≤|x﹣x﹣1|=1，∴a≥1

（3）解：設u（x）=|x+1|﹣|x|，y=u（x）的圖象和y=x的圖象如圖所示．

易知y=u（x）的圖象向下平移1個單位以內（不包括1個單位），與y=x的圖象始終有3個交點，

從而﹣1＜a＜0．

所以實數a的取值范圍為（﹣1，0）

【解析】（1）若a=0，不等式f（x）≥x化為不等式|x+1|﹣|x|≥x，分類討論，即可求得f（x）≥x的解集；（2）若對任意x∈R，f（x）≥0恒成立，|x|﹣|x+1|≤a恒成立，求出左邊的最大值，即可求a的范圍；（3）u（x）=|x+1|﹣|x|，做出y=u（x）和y=x的圖象，方程f（x）=x恰有三個不同的實根，轉化成y=u（x）與y=x的圖象始終有3個交點，根據函數圖象即可求得實數a的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關知識，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．