Question

巳知橢圓的離心率是.
⑴若點P(2,1)在橢圓上，求橢圓的方程；
⑵若存在過點A(1,0)的直線，使點C(2,0)關(guān)于直線的對稱點在橢圓上，求橢圓的焦距的取值范圍.

Answer 1

⑴；⑵橢圓的焦距的取值范圍是.

解析試題分析：⑴，，再將點的坐標(biāo)代入橢圓的方程，這樣便有三個方程，三者聯(lián)立，即可求出，從而得橢圓的方程.⑵顯然斜率不存在或斜率等于0時，不可能滿足題意.故可設(shè)直線l的方程為：，這樣可將點C(2,0)關(guān)于直線l的對稱點的坐標(biāo)用表示出來，然后代入橢圓的方程，從而得一關(guān)于的方程：.設(shè)，因此原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程有正根.根據(jù)二次方程根的分布可得.進(jìn)而求得橢圓的焦距的取值范圍.

試題解析：⑴,
∵點P(2,1)在橢圓上,∴     5分
⑵依題意，直線l的斜率存在且不為0，則直線l的方程為：.
設(shè)點C(2,0)關(guān)于直線l的對稱點為，則

若點在橢圓上，則

設(shè)，因此原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程有正根.
①當(dāng)時，方程一定有正根；
②當(dāng)時，則有
∴綜上得.
又橢圓的焦距為.
故橢圓的焦距的取值范圍是(0,4]         14分
考點：1、橢圓的方程；2、直線與橢圓.