Question

【題目】已知函數．

（1）當時，討論函數在區間上零點的個數；

（2）證明：當，時，．

Answer 1

【答案】（1）當時，有個公共點，當時，有個公共點，當時，有個公共點；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）零點的個數就是對應方程根的個數,分離變量可得,構造函數,利用求出單調性可知在的最小值,根據原函數的單調性可討論得零點個數；（2）構造函數,利用導數可判斷的單調性和極值情況,可證明．

試題解析：

（1）當，時，函數零點的個數即方程根的個數．

由，令，

則在上單調遞減，這時；

在上單調遞增，這時．

所以是的極小值即最小值，即

所以函數在區間上零點的個數，討論如下：

當時，有0個公共點；

當，有1個公共點；

當有2個公共點．

（2）證明：設，則，

令，則，

因為，所以，當時，；在上是減函數，

當時，，在上是增函數，

又，，

所以當時，恒有，即，所以在上為減函數，

所以，

即當時，．