Question

已知函數g(x)＝ax²－2ax＋1＋b(a≠0，b<1)，在區間[2，3]上有最大值4，最小值1，設函數f(x)＝.
(1)求a、b的值及函數f(x)的解析式；
(2)若不等式f(2^x)－k·2^x≥0在x∈[－1，1]時有解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

（1）a＝1，b＝0，g(x)＝x²－2x＋1，f(x)＝x＋－2.（2）(－∞，1]

(1)g(x)＝ax²－2ax＋1＋b，由題意得
①得
②得 (舍)．
∴a＝1，b＝0，g(x)＝x²－2x＋1，f(x)＝x＋－2.
(2)不等式f(2^x)－k·2^x≥0，即2^x＋－2≥k·2^x，
∴k≤－2·＋1.
設t＝，則k≤t²－2t＋1，∵x∈[－1，1]，故t∈.
記h(t)＝t²－2t＋1，∵t∈，∴h(t)_max＝1，
故所求k的取值范圍是(－∞，1]