Question

（本小題滿分12分）設函數 
(1)當時，求函數的最大值；
(2)令，（）其圖象上任意一點處切線的斜率≤恒成立，求實數的取值范圍；
(3)當，，方程有唯一實數解，求正數的值．

Answer 1

（1）的極大值為，此即為最大值 ；
(2）≥；(3) 。

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。
（1）依題意，知的定義域為（0，+∞），
當時，，
判定單調性得到極值。
（2）轉化為，，則有≤，在上恒成立，所以≥，解決。
（3）因為方程有唯一實數解，
所以有唯一實數解，設，分析圖像與x軸的交點問題。
解: （1）依題意，知的定義域為（0，+∞），
當時，，
……………2分
令=0，解得．（∵）
因為有唯一解，所以，當時，，此時單調遞增；當時，，此時單調遞減。
所以的極大值為，此即為最大值 ……………4分
(2），，則有≤，在上恒成立，所以≥，             
當時，取得最大值，所以≥………8分
(3)因為方程有唯一實數解，
所以有唯一實數解，設，
則．令，．  
因為，，所以（舍去），，
當時，，在（0，）上單調遞減，
當時，，在（，+∞）單調遞增
當時，=0，取最小值． 則既……………10分所以，因為，所以（*）設函數，因為當時，是增函數，所以至多有一解．因為，所以方程（*）的解為，即，解得……………12分