Question

【題目】如圖，四面體，，，，.

（1）若中點(diǎn)是，求證：面；

（2）若是線段上的動點(diǎn)，是面上的動點(diǎn)，且線段，的中點(diǎn)是，求動點(diǎn)的軌跡與四面體圍成的較小的幾何體的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）動點(diǎn)的軌跡是以為球心，半徑為的球面，體積.

【解析】

（1）證明出平面可得出，再由三線合一得出，利用直線與平面垂直的判定定理可得出平面；

（2）證明平面，可得出，由直角三角形的性質(zhì)可得出，可知動點(diǎn)的軌跡是以為球心，半徑的球面，計算出的大小，可得出所求幾何體占球的比例，由此可得出所求幾何體的體積.

（1），，，，平面，

平面，.

，為的中點(diǎn)，.

，因此，平面；

（2）如下圖所示：

，，，，

又，，平面，

平面，，，則.

在中，為斜邊的中點(diǎn)，則.

由（1）知，平面，且，.

所以，點(diǎn)的軌跡是以為球心，半徑為的球面.

在中，，，，則，

，所以，動點(diǎn)的軌跡與四面體圍成的較小的幾何體為球體的.

因此，所求幾何體的體積為.