Question

【題目】某公司銷售甲、乙兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測，甲產(chǎn)品的利潤（萬元）與投資額（萬元）成正比，其關(guān)系如圖所示；乙產(chǎn)品的利潤（萬元）與投資額（萬元）的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系式如圖所示．

（1）分別將甲、乙兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資額的函數(shù)；

（2）若該公司投資萬元資金，并全部用于甲、乙兩種產(chǎn)品的營銷，問：怎樣分配這萬元投資，才能使公司獲得最大利潤？其最大利潤為多少？

Answer 1

【答案】（1）甲產(chǎn)品的利潤函數(shù)為；乙產(chǎn)品的利潤函數(shù)為；（2）詳見解析．

【解析】

（1）由題意設(shè)、，分別代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可得解；

（2）設(shè)乙產(chǎn)品的投資金額為萬元，則甲產(chǎn)品的投資金額為萬元，由題意列出總利潤的函數(shù)，換元后利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分類討論即可得解.

（1）由題意設(shè)甲產(chǎn)品的利潤函數(shù)為，乙產(chǎn)品的利潤函數(shù)為．

由函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，則即，所以；

函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，則即，所以；

（2）設(shè)乙產(chǎn)品的投資金額為萬元，則甲產(chǎn)品的投資金額為萬元，

所獲得總利潤為萬元，

則，，

令，則，

，

該函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為，

所以當(dāng)即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)即時，有最大值；

當(dāng)即時，函數(shù)在上遞增，在上遞減，

當(dāng)即時，有最大值．

綜上可知，當(dāng)時，乙產(chǎn)品投資萬元，甲產(chǎn)品不作投資，該公司可獲得最大利潤，最大利潤為萬元；

當(dāng)時，乙產(chǎn)品投資萬元，甲產(chǎn)品投資萬元，該公司可獲得最大利潤，最大利潤為萬元．