Question

【題目】某公司引進一條價值30萬元的產品生產線，經過預測和計算，得到生產成本降低萬元與技術改造投入萬元之間滿足：①與和的乘積成正比；②當時， ，并且技術改造投入比率， 為常數且．

（1）求的解析式及其定義域；

（2）求的最大值及相應的值．

Answer 1

【答案】（1），定義域是（2）見解析

【解析】試題分析：（1）先求比例系數，再比率范圍得定義域（2）先求導數，再求定義區間上導函數零點，列表分析導函數符號變化規律，確定單調性，進而確定最大值

試題解析：（1）設，

當時， ，即，解得，

所以，

因為，所以函數的定義域是．

（2）因為（），

所以，令，則（舍去）或，

當時， ，所以在上是增函數，

當時， ，所以在上是減函數，

所以為函數的極大值點，

當，即， ；

當，即時， ，

綜上可得，當時， 的最大值為， 的值為20；

當時， 的最大值為， 的值為．