Question

一條斜率為1的直線與離心率e=的橢圓C：交于P、Q兩點，直線與y軸交于點R，且，求直線和橢圓C的方程；

Answer 1

∵e＝，∴＝，a²＝2b²，則橢圓方程為＋＝1，設l方程為：y＝x＋m，P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，
故有Δ＝16m²－4×3(2m²－2b²)＝8(－m²＋3b²)＞0
∴3b²＞m²(*)
x₁＋x₂＝－m(1)
x₁x₂＝(m²－b²)(2)
又·＝－3得x₁x₂＋y₁y₂＝－3，
而y₁y₂＝(x₁＋m)(x₂＋m)＝x₁x₂＋m(x₁＋x₂)＋m²，
所以2x₁x₂＋m(x₁＋x₂)＋m²＝－3⇒ (m²－b²)－m²＋m²＝－3，∴3m²－4b²＝－9(3)
又R(0，m)，＝3，(－x₁，m－y₁)＝3(x₂，y₂－m)
從而－x₁＝3x₂(4)
由(1)(2)(4)得3m²＝b²(5)
由(3)(5)解得b²＝3，m＝±1適合(*)，
∴所求直線l方程為y＝x＋1或y＝x－1；橢圓C的方程為＋＝1

略