Question

【題目】已知函數f（x）= +lnx在（1，+∞）上是增函數，且a＞0．
（1）求a的取值范圍；
（2）求函數g（x）=ln（1+x）﹣x在[0，+∞）上的最大值；
（3）設a＞1，b＞0，求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的導數為f′（x）=﹣ + ，

因為函數f（x）在（1，+∞）上是增函數，

所以f′（x）=﹣ + ≥0在（1，+∞）上恒成立，

即x≥ 在（1，+∞）上恒成立，

所以只需1≥ ，

又因為a＞0，所以a≥1

（2）解：因為x∈[0，+∞），所以g′（x）= ﹣1= ≤0

所以g（x）在[0，+∞）上單調遞減，

所以g（x）=ln（1+x）﹣x在[0，+∞）上的最大值為g（0）=0

（3）解：證明：因為a＞1，b＞0，所以 ＞1，

由（1）知f（x）= +lnx在（1，+∞）上是增函數，所以f（ ）＞f（1），

即 +ln ＞0，化簡得 ＜ln ，

又因為 =1+ ，

由第（2）問可知g（ ）=ln（1+ ）﹣ ＜g（0）=0，

即ln ＜ ，

綜上 得證

【解析】（1）求出函數的導數，由函數f（x）在（1，+∞）上是增函數，所以f′（x）=﹣ + ≥0在（1，+∞）上恒成立，運用參數分離，求得最值即可；（2）求得g（x）的導數，求得單調性，即可得到最小值；（3）由（1）知f（x）= +lnx在（1，+∞）上是增函數，所以f（ ）＞f（1），由第（2）問可知g（ ）=ln（1+ ）﹣ ＜g（0）=0，化簡即可得證．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．