Question

【題目】如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，點E是BC邊的中點，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AE，AC，DE，得到如圖2所示的幾何體．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面ADC；
（Ⅱ）若AD=1，二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值為 ，求二面角B﹣AD﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，

又BD⊥DC，所以DC⊥平面ABD．

因為AB平面ABD，所以DC⊥AB．

又因為折疊前后均有AD⊥AB，DC∩AD=D，

所以AB⊥平面ADC

（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB⊥平面ADC，所以二面角C﹣AB﹣D的平面角為∠CAD．

又DC⊥平面ABD，AD平面ABD，所以DC⊥AD．

依題意 ．

因為AD=1，所以 ．

設AB=x（x＞0），則 ．

依題意△ABD～△BDC，所以 ，即 ．

解得 ，故 ．

如圖所示，建立空間直角坐標系D﹣xyz，

則D（0，0，0）， ， ，

， ，

所以 ， ．

由（Ⅰ）知平面BAD的法向量 ．

設平面ADE的法向量

由 得

令 ，得 ，

所以 ．

所以 ．

由圖可知二面角B﹣AD﹣E的平面角為銳角，

所以二面角B﹣AD﹣E的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）證明DC⊥AB．AD⊥AB即可得AB⊥平面ADC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB⊥平面ADC，即二面角C﹣AB﹣D的平面角為∠CAD二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值為 ，解得AB，如圖所示，建立空間直角坐標系D﹣xyz，求出平面BAD的法向量 ，平面ADE的法向量，即可得二面角B﹣AD﹣E的余弦值
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．