Question

【題目】已知二次函數.

（1）若是的兩個不同的根，是否存在實數，使成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

（2）設，函數已知方程恰有3個不同的根.

（ⅰ）求的取值范圍；

（ⅱ）設分別是這3個根中的最小值與最大值，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）不存在，理由見詳解；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.

【解析】

（1）由韋達定理，可得的取值；由，進行取舍；

（2）（ⅰ）構造函數，把有3個根，轉化為與直線有三個交點的問題，數形結合處理；

（ii）分別解得和，進而構造函數，求其最大值.

（1）依題意可知，.假設存在實數，使成立.

因為有兩個不同的根，

所以，解得.

由韋達定理得，

所以，

解得，而，故不存在.

（2）因為，設，則

當時，，當時，.

（ⅰ）作出的圖象，如圖所示，所以.

（ⅱ）設直線與此圖象的最左邊和最右邊的交點分別為.

由，得；

由，得，

所以.

因為，

所以當時，取得最大值.

故的最大值為.