Question

【題目】在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手（1至5號）登臺演唱，由現場數百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名．觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中隨機選3名歌手．
（1）求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；
（2）X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數之和，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：設事件A表示：“觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手”，

觀眾甲選中3號歌手的概率為 ，觀眾乙未選中3號歌手的概率為1﹣ = ，

∴P（A）= ，

∴觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率為 ；

（2）解：X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數之和，則X可取0，1，2，3．

觀眾甲選中3號歌手的概率為 ，觀眾乙選中3號歌手的概率為 ，

當觀眾甲、乙、丙均未選中3號歌手時，這時X=0，P（X=0）=（1﹣ ）（1﹣ ）2= ，

當觀眾甲、乙、丙只有一人選中3號歌手時，這時X=1，

P（X=1）= （1﹣ ）2+（1﹣ ） （1﹣ ）+（1﹣ ）（1﹣ ） = ，

當觀眾甲、乙、丙只有二人選中3號歌手時，這時X=2，

P（X=2）= （1﹣ ）+（1﹣ ） + （1﹣ ） = ，

當觀眾甲、乙、丙都選中3號歌手時，這時X=3，

P（X=3）= （ ）2= ，

X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P

∴數學期望EX=0× +1× +2× +3× = ．

【解析】（1）設事件A表示：“觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手”，觀眾甲選中3號歌手的概率為 ，觀眾乙未選中3號歌手的概率為1﹣ = ，利用互斥事件的概率公式，即可求得結論；（2）由題意，X可取0，1，2，3，求出相應的概率，即可得到X的分布列與數學期望．
【考點精析】掌握離散型隨機變量及其分布列是解答本題的根本，需要知道在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．