Question

【題目】已知函數（），且函數圖象的對稱中心到對稱軸的最小距離為，當時， 的最大值為1．

（Ⅰ）求函數的解析式；

（Ⅱ）將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，若在上恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）f（x）=sin（2x﹣）﹣；（Ⅱ）m∈[﹣2，1].

【解析】試題分析：（I）由題意可求T=π，利用周期公式可求ω的值，可得解析式f（x）=sin（ωx﹣）+b，結合范圍2x﹣∈[﹣，]，利用正弦函數的有界性解得b的值，從而可求函數f（x）的解析式．

（Ⅱ）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求g（x）=sin（2x﹣）﹣∈[﹣2，1]，結合已知可求m的取值范圍．

試題解析：

（I）∵函數f（x）=sin（ωx﹣）+b（ω＞0），且函數圖象的對稱中心到對稱軸的最小距離為，

∴=，可得：T=π，由=π，可得：ω=2，

∴f（x）=sin（2x﹣）+b，

∵當x∈[0，]時，2x﹣∈[﹣，]，

∴由于y=sinx在[﹣，]上單調遞增，可得當2x﹣=，即x=時，函數f（x）取得最大值f（）=sin+b，

∴sin+b=1，解得b=﹣，

∴f（x）=sin（2x﹣）﹣

（Ⅱ）將函數f（x）的圖象向右平移個單位長度得到的圖象的函數解析式為：g（x）=sin[2（x﹣）﹣]﹣=sin（2x﹣）﹣，

∵當x∈[0，]時，可得：2x﹣∈[﹣，]，g（x）=sin（2x﹣）﹣∈[﹣2，1]，

∴g（x）﹣3∈[﹣5，﹣2]，g（x）+3∈[1，4]，

∵g（x）﹣3≤m≤g（x）+3在x∈[0，]上恒成立，

∴m∈[﹣2，1]．