Question

【題目】已知橢圓E： （a＞b＞0）的離心率為 ，其長軸長與短軸長的和等于6．
（1）求橢圓E的方程；
（2）如圖，設橢圓E的上、下頂點分別為A1、A2 ， P是橢圓上異于A1、A2的任意一點，直線PA1、PA2分別交x軸于點N，M，若直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為T．證明：線段OT的長為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得 ，解得 ．

∴橢圓E的方程為

（2）解：由（1）可知：A1（0，1），A2（0，﹣1），設P（x0，y0），則 ．

則直線PA1的方程為 ，令y=0，得xN= ；

直線PA2的方程為 ，令y=0，得 ．

由切割線定理可得：|OT|2=|OM||ON|= = =4，

∴|OT|=2，即線段OT的長為定值2

【解析】（1）利用橢圓的標準方程及其性質即可得出；（2）利用直線的方程、點在橢圓上滿足的條件、切割線定理即可得出．
【考點精析】掌握橢圓的標準方程是解答本題的根本，需要知道橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．