Question

【題目】設函數f（x）=|2x+3|﹣|2x﹣a|，a∈R．
（1）若不等式f（x）≤﹣5的解集非空，求實數a的取值范圍；
（2）若函數y=f（x）的圖象關于點（﹣ ，0）對稱，求實數a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：||2x+3|﹣|2x﹣a||≤|2x+3﹣2x+a|=|3+a|，

∵不等式f（x）≤﹣5的解集非空，

∴﹣|3+a|≤﹣5，∴a≤﹣8或a≥2

（2）解：∵函數y=f（x）的圖象關于點（﹣ ，0）對稱，

∴f（x﹣ ）+f（﹣x﹣ ）=0，

∴|2x+2|﹣|2x﹣1﹣a|+|﹣2x+2|﹣|﹣2x﹣1﹣a|=0，

由于對任意x為實數均成立，

∴a=1．

【解析】（1）若不等式f（x）≤﹣5的解集非空，﹣|3+a|≤﹣5，即可求實數a的取值范圍；（2）若函數y=f（x）的圖象關于點（﹣ ，0）對稱，f（x﹣ ）+f（﹣x﹣ ）=0，即可求實數a的值．
【考點精析】掌握絕對值不等式的解法是解答本題的根本，需要知道含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．