Question

（2013•青島一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，N是PB中點，過A、N、D三點的平面交PC于M．
（Ⅰ）求證：PD∥平面ANC；
（Ⅱ）求證：M是PC中點；
（Ⅲ）若PD⊥底面ABCD，PA=AB，BC⊥BD，證明：平面PBC⊥平面ADMN．

Answer 1

分析：（I）利用線面平行的判定定理，由線線平行證線面平行即可；
（II）先證線面平行，再利用線面平行的性質(zhì)證線線平行，根據(jù)平面幾何知識可證M為PC的中點；
（III）先證AD與平面PBD的垂直性，再通過證明PB垂直于平面ADMN中的兩條相交直線證線面垂直，由線面垂直證面面垂直即可．

解答：證明：（Ⅰ）連結(jié)BD，AC，設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)NO，
∵ABCD是平行四邊形∴O是BD的中點，在△PBD中，N是PB的中點，∴PD∥NO，
又NO?平面ANC，PD?平面ANC，
∴PD∥平面ANC．
（Ⅱ）∵底面ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC
∵BC?平面ADMN，AD?平面ADMN，
∴BC∥平面ADMN．
∵平面PBC∩平面ADMN=MN，
∴BC∥MN，又N是PB的中點
∴M是PC的中點．
（Ⅲ）∵PA=AB，N是PB的中點，∴PB⊥AN，
∵BC⊥BD，AD∥BC，∴AD⊥BD，
∴PD⊥平面ABCD，AD?底面ABCD，
PD⊥AD，又PD∩BD=D，
∴AD⊥平面PBD，∴PB⊥AD
∵AD∩AN=A
∴PB⊥平面ADMN，PB?平面PBC
∴平面PBC⊥平面ADMN

點評：本題考查線面平行的判定及面面垂直的判定．