Question

已知

a

=(sinx，-cosx)，

b

=(cosx，

3

cosx)，函數f(x)=

a

•

b

+

3

2

（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當0≤x≤

π

2

時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先根據向量數量積的定義進行化簡，轉化成f(x)=sinxcosx-

3

cos2x+

3

2

，然后利用降冪公式和二倍角公式進行化簡整理，最后用輔助角公式化成y=Asin（ωx+φ）；
（2）根據x的范圍先求出2x-

π

3

的范圍，然后根據正弦函數的單調性求出其值域即可．

解答：解：（1）f(x)=sinxcosx-

3

cos2x+

3

2

．（2分）
=

1

2

sin2x-

3

2

(cos2x+1)+

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=sin(2x-

π

3

)．（4分）
所以f（x）的最小正周期為π，（6分）．
（2）∵0≤x≤.

π

2

．∴-

π

3

＜2x-

π

3

≤

2π

3

（8分）
∴-

3

2

≤sin(2x-

π

3

)≤1，
即f（x）的值域為[-

3

2

，1]（12分）

點評：本題主要考查了一向量的數量積為載體，考查三角函數的周期性和值域，同時考查了計算能力和化簡轉化的能力，屬于基礎題．