Question

（2012•蕪湖二模）已知

a

=(sinx，1)，

b

=(cosx，-

1

2

)，函數(shù)f(x)=

a

•(

a

-

b

)，那么下列四個(gè)命題中正確命題的序號(hào)是

②③④

．
①f（x）是周期函數(shù)，其最小正周期為2π．
②當(dāng)x=

π

8

時(shí)，f（x）有最小值2-

2

2

．
③[-

7

8

π，-

3

8

π]是函數(shù)f（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間；
④點(diǎn)（-

π

8

，2）是函數(shù)f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心．

Answer 1

分析：先化簡(jiǎn)函數(shù)，再一一驗(yàn)證，①f（x）是周期函數(shù)，其最小正周期為π；
②當(dāng)x=

π

8

時(shí)，2x+

π

4

=

π

2

，所以sin(2x+

π

4

)=1，可得f（x）有最小值2-

2

2

；
③x∈[-

7

8

π，-

3

8

π]時(shí)，2x+

π

4

∈[-

3π

2

，-

π

2

]，可得[-

7

8

π，-

3

8

π]是函數(shù)f（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間；
④利用（-

π

8

，0）是函數(shù)g（x）=sin(2x+

π

4

)的一個(gè)對(duì)稱中心，可得結(jié)論．

解答：解：由題意，f(x)=

a

2-

a

•

b

=sin2x+1-(sinxcosx-

1

2

)=2-

1

2

cos2x-

1

2

sin2x=2-

2

2

sin(2x+

π

4

)，∴①f（x）是周期函數(shù)，其最小正周期為π，故①錯(cuò)；
②當(dāng)x=

π

8

時(shí)，2x+

π

4

=

π

2

，∴sin(2x+

π

4

)=1，∴f（x）有最小值2-

2

2

，故②正確；
③x∈[-

7

8

π，-

3

8

π]時(shí)，2x+

π

4

∈[-

3π

2

，-

π

2

]，∴[-

7

8

π，-

3

8

π]是函數(shù)f（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，故③正確；
④∵（-

π

8

，0）是函數(shù)g（x）=sin(2x+

π

4

)的一個(gè)對(duì)稱中心，∴點(diǎn)（-

π

8

，2）是函數(shù)f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心，故④正確
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．