Question

【題目】函數的最小值為.

（1）求；

（2）若，求及此時的最大值.

【答案】(1) ；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）利用同角三角函數間的基本關系化簡函數解析式后，分三種情況：①小于﹣1時②大于﹣1而小于1時③大于1時，根據二次函數求最小值的方法求出f（x）的最小值g（a）的值即可；（2）把代入到第一問的g（a）的第二和第三個解析式中，求出a的值，代入f（x）中得到f（x）的解析式，利用配方可得f（x）的最大值．

試題解析：

（1）由

.這里

①若則當時，

②若當時，

③若則當時，

因此

（2）

①若，則有得，矛盾；

②若，則有即或（舍）.

時， 此時

當時， 取得最大值為5.

點睛：二次函數在閉區間上必有最大值和最小值，它只能在區間的端點或二次函數圖象的頂點處取到；常見題型有：（1）軸固定區間也固定；（2）軸動（軸含參數），區間固定；（3）軸固定，區間動（區間含參數）. 找最值的關鍵是：（1）圖象的開口方向；（2）對稱軸與區間的位置關系；（3）結合圖象及單調性確定函數最值.

【題型】填空題
【結束】
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【題目】已知兩個不共線的向量的夾角為，且為正實數.

（1）若與垂直，求；

（2）若，求的最小值及對應的的值，并指出此時向量與的位置關系.

（3）若為銳角，對于正實數，關于的方程有兩個不同的正實數解，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案見解析；(3) .

【解析】試題分析：（1）利用+2與﹣4垂直，（ +2）（﹣4）=0，可得，化簡，即可求出tanθ；

（2）利用二次函數的性質，可求|x﹣|的最小值及對應的x的值，利用數量積公式，可確定向量與x﹣的位置關系；

（3）方程|x﹣|=|m|，等價于9x2﹣3cosθx+1﹣9m2=0，利用關于x的方程|x﹣|=|m|有兩個不同的正實數解，建立不等式，即可確定結論．

試題解析：

（1）由題意，得即

故又，故

因此，

（2）

故當時， 取得最小值為此時，

故向量與垂直.

（3）對方程兩邊平方，得①

設方程①的兩個不同正實數解為，則由題意，得

，

解之，得

若則方程①可以化為，

則即由題知故

令，得，故，且.

當，且時， 的取值范圍為，且}；

當，或時， 的取值范圍為.