Question

【題目】已知圓和定點，其中點是該圓的圓心，是圓上任意一點，線段的垂直平分線交于點，設動點的軌跡為．

（1）求動點的軌跡方程；

（2）設曲線與軸交于兩點，點是曲線上異于的任意一點，記直線，的斜率分別為，．證明：是定值；

（3）設點是曲線上另一個異于的點，且直線與的斜率滿足，試探究：直線是否經過定點？如果是，求出該定點，如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）是，.

【解析】

（1）利用橢圓的定義可求曲線的軌跡方程.

（2）設，算出，后計算，利用在橢圓上化簡可得定值.

（3）根據（2）的結論可得，因此，從而．直線的斜率存在時，可設的方程為，聯立直線方程和橢圓方程，消去后利用韋達定理化簡可得，從而得到直線經過定點，當直線的斜率不存在時可驗證直線也過這個定點．

（1）依題意可知圓的標準方程為，

因為線段的垂直平分線交于點，所以，

動點始終滿足，故動點滿足橢圓的定義,

因此，解得，∴橢圓的方程為.

（2），設，則；

（3），由（2）中的結論可知，

所以，即，故.

當直線的斜率存在時，可設的方程為，

由可得，

則（*），，

將（*）式代入可得，即，

亦即.或.

當時，，此時直線恒過定點（舍）；

當時，，此時直線恒過定點；

當直線的斜率不存在時，經檢驗，可知直線也恒過定點；

綜上所述，直線恒過定點.