Question

平面內動點M與點P₁（-2，0），P₂（2，0）所成直線的斜率分別為k₁、k₂，且滿足．
（1）求點M的軌跡E的方程，并指出E的曲線類型；
（2）設直線l：y=kx+m（k＞0，m≠0）分別交x、y 軸于點A、B，交曲線E于點C、D，且|AC|=|BD|，求k的值及△NCD面積取得最大時直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設動點M的坐標為（x，y），由k₁•k₂=-，可得，整理可求
（2）在，從而可得AB的中點為，聯立方程結合方程的根與系數的關系及|AC|=|BD|，可得CD中點就是AB中點，從而可求k，由于CD|=，點N到CD的距離d=|m|，代入利用基本不等式可求面積的最大值及K的值，進而可求直線方程
解答：解：（1）設動點M的坐標為（x，y），∵k₁•k₂=-，∴，即=1（y≠0）
動點M的軌跡E是中心在原點，半長軸為2，焦點為（±，0）的橢圓
（除去長軸兩個端點．）  它的方程是=1（y≠0）．
（2）在，AB的中點為
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由-4=0△=32k²-8m²+16，x₁+x₂=-，
∵|AC|=|BD|，∴CD中點就是AB中點，
即-，∵k＞0，∴k=（2）|CD|=
點N到CD的距離d=|m|，S_△NCD=|m|=
當且僅當4-m²=m²時等號成立，即m²=2，m=±，此時△＞0，
所以直線的方程為l：y=．
點評：本題主要考查了利用直線的斜率關系求解點的軌跡方程，要注意（1）中要去掉不符合條件的點，考查了基本不等式在求解最值中的應用．