Question

平面內動點M與點P₁（-2，0），P₂（2，0），所成直線的斜率分別為k₁、k₂，且滿足k1k2=-

1

2

．
（Ⅰ）求點M的軌跡E的方程，并指出E的曲線類型；
（Ⅱ）設直線：l：y=kx+m（k＞0，m≠0）分別交x、y軸于點A、B，交曲線E于點C、D，且|AC|=|BD|．
（1）求k的值；
（2）若點N(

2

，1)，求△NCD面積取得最大時直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設動點M的坐標為（x，y），由k1•k2=-

1

2

，可得方程

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

2

，化簡即得點M的軌跡E的方程，從而可得E的曲線類型；
（Ⅱ）（1）由于|AC|=|BD|，所以CD中點就是AB中點，先求AB的中點為Q(-

m

2k

，

m

2

)，再將l：y=kx+m與（Ⅰ）中方程聯立，利用中點坐標公式可求k的值；
（2）利用弦長公式求CD長，再求點N到CD的距離，從而可表示出面積，利用基本不等式求△NCD面積的最大值，從而求出直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）設動點M的坐標為（x，y），∵k1•k2=-

1

2

，∴

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

2

，
即

x2

4

+

y2

2

=1(y≠0)
動點M的軌跡E是中心在原點，半長軸為2，焦點為（±

2

，0）的橢圓（除去長軸兩個端點．）它的方程是

x2

4

+

y2

2

=1(y≠0)．
（Ⅱ）（1）在l：y=kx+m中分別令x=0，y=0可得A(-

m

k

，0)，B(0，m)，AB的中點為Q(-

m

2k

，

m

2

)
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由

y=kx+m x2 4 + y2 2 =1

⇒(1+2k2)x2+4mkx+2m2-4=0△=32k2-8m2+16，x1+x2=-

4mk

1+2k2

，x1•x2=

2m2-4

1+2k2

，∵|AC|=|BD|，∴CD中點就是AB中點，即-

4mk

1+2k2

=-

m

k

，4k2=1+2k2，k2=

1

2

，∵k＞0，∴k=

2

2

(2)|CD|=

1+k2

•|x2-x1|=

1+ 1 2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

3 2

•

2m2-4(m2-2)

=

3(4-m2)

點N到CD的距離d=

| 2 k-1+m|

1+k2

=

6

3

|m|，S△NCD=

1

2

|CD|•d=

1

2

•

3(4-m2)

•

6

3

|m|=

2

2

4-m2

|m|=

2

2

(4-m2)m2

≤

2

2

(

4-m2+m2)

2

)=

2

當且僅當4-m²=m²時等號成立，即m2=2，m=±

2

，此時△＞0，
所以直線的方程為l：y=

2

2

x±

2

．

點評：本題主要考查曲線的軌跡方程與軌跡，應注意區分軌跡方程與軌跡，把不滿足條件的點舍去．對于直線與曲線的位置關系問題，通常利用聯立方程組的方法，一般要借助于根與系數的關系求解．