Question

【題目】已知函數（且）的圖象過點，.若函數在定義域內存在實數t，使得成立，則稱函數具有性質M.

（1）求實數a的值；

（2）判斷函數是否具有性質M？并說明理由；

（3）證明：函數具有性質M.

Answer 1

【答案】（1）；（2）函數不具有性質M，詳見解析；（3）證明見解析

【解析】

（1）將點代入的解析式求解即可；

（2）由，可得對數方程，運用對數的性質判斷方程的解，即可判斷是否具有性質；

（3）由，求得方程的根或范圍，結合新定義即可得證.

（1）由題意，函數的圖象過點，

所以，解得；

（2）函數不具有性質M，證明如下：

函數的定義域為，

方程

，

而方程無解，

所以不存在實數使得成立，

所以函數不具有性質M；

（3）由（1）知，定義域為R，

方程

，

設，

，，

函數的圖象連續，且，

所以函數在區間存在零點，

所以存在實數t使得成立，

所以函數具有性質M.