Question

【題目】設α，β為兩個不重合的平面，m，n為兩條不重合的直線，給出下列四個命題：
①若m⊥n，m⊥α，nα則n∥α；
②若α⊥β，α∩β=m，nα，n⊥m，則n⊥β；
③若m⊥n，m∥α，n∥β，則α⊥β；
④若nα，mβ，α與β相交且不垂直，則n與m不垂直．
其中所有真命題的序號是 ．

Answer 1

【答案】①②
【解析】解：若m⊥n，m⊥α，則nα或n∥α，又由nα則n∥α，故①為真命題；若α⊥β，α∩β=m，nα，n⊥m，則由面面垂直的性質定理我們易得到n⊥β，故②也為真命題；
若m⊥n，m∥α，則n與α可能平行也可能相交，再由n∥β，則α與β也可能平行也可能相交，故③為假命題；
若nα，mβ，α與β相交且不垂直，當m，n中一條與交線平行，一條與交線垂直時，n⊥m，故④為假命題；
所以答案是：①②
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對直線與平面垂直的判定的理解，了解一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．