Question

設f(x)＝x＋ax²＋bln x，曲線y＝f(x)過點
P(1,0)，且在P點處的切線的斜率為2.
①求a，b的值；
②證明：f(x)≤2x－2.

Answer 1

①a＝－1，b＝3.②見解析

① f′(x)＝1＋2ax＋.
由題意知即，
解得a＝－1，b＝3.
②由①知f(x)＝x－x²＋3ln x.
f(x)的定義域為(0，＋∞)．
設g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x²＋3ln x，
則g′(x)＝－1－2x＋＝－.?
由g′(x)>0知0<x<1，
由g′(x)<0知x>1.
所以g(x)在(0,1)內單調遞增，在(1，＋∞)內單調遞減．
所以g(x)在(0，＋∞)上的最大值為g(1)＝0，
所以g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.