Question

（2013•許昌二模）如圖，已知PE切圓O于點E，割線PBA交圓O于A，B兩點，∠APE的平分線和AE、BE分別交于點C，D
（Ⅰ）求證：CE=DE；
（Ⅱ）求證：

CA

CE

=

PE

PB

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過弦切角定理以及角的平分線，直接證明三角形是等腰三角形，即可證明CE=DE；
（Ⅱ）利用切割線定理以及角的平分線定理直接求證：

CA

CE

=

PE

PB

即可．

解答：證明：（Ⅰ）∵PE切圓O于E，∴∠PEB=∠A，
又∵PC平分∠APE，∴∠CPE=∠CPA，
∴∠PEB+∠CPE=∠A+∠CPA，
∴∠CDE=∠DCE，即CE=DE．
（Ⅱ）因為PC平分∠APE∴

CA

CE

=

PA

PE

，
又PE切圓O于點E，割線PBA交圓O于A，B兩點，
∴PE²=PB•PA，
即

PA

PE

=

PE

PB

∴

CA

CE

=

PE

PB

點評：本題考查圓的切割線定理，弦切角定理的應用，考查邏輯推理能力．