Question

（2013•許昌二模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，并且直線y=x+b是拋物線C₂：y²=4x的一條切線．
（I）求橢圓C₁的方程．
（Ⅱ）過點S(0，-

1

3

)的動直線l交橢圓C₁于A、B兩點，試問：在直角坐標平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過定點T？若存在求出T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）先跟據直線y=x+b是拋物線C₂：y²=4x的一條切線，求出b的值，再由橢圓離心率為

2

2

，求出a的值，則橢圓方程可得．
（Ⅱ）先假設存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過定點，再用垂直時，向量

PA

，

PA

的數量積為0，得到關于直線斜率k的方程，求k，若能求出，則存在，若求不出，則不存在．

解答：解：（I）由

y=x+b y2=4x

得x²+（2b-4）x+b²=0
直線y=x+b是拋物線C₂：y²=4x的一條切線．
所以△=0⇒b=1e=

c

a

=

2

2

⇒a=

2

所以橢圓C1：

x2

2

+y2=1（5分）
（Ⅱ）當直線l與x軸平行時，以AB為直徑的圓方程為x2+(y+

1

3

)2=(

4

3

)2
當直線l與y軸重合時，以AB為直徑的圓方程為x²+y²=1
所以兩圓的切點為點（0，1）（8分）
所求的點T為點（0，1），證明如下．
當直線l與x軸垂直時，以AB為直徑的圓過點（0，1）
當直線l與x軸不垂直時，可設直線l為：y=kx-

1

3

由  

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

得（18k²+9）x²-12kx-16=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則

x1+x2= 12k 18k2+9 x1x2= -16 18k2+9

TA

•

TB

=x1x2-

4

3

(x1+x2)+

16

9

=(1+k2)

-16

18k2+9

-

4

3

×

12k

18k2+9

+

16

9

=0
所以

TA

⊥

TB

，即以AB為直徑的圓過點（0，1）
所以存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過定點T（13分）

點評：本題考查了橢圓，拋物線與直線的綜合運用，另外，還結合了向量知識，綜合性強，須認真分析．