Question

【題目】設(shè)函數(shù)，，其中a，.

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若存在極值點(diǎn)，且，其中，求證：；

（3）設(shè)，函數(shù)，求證：在區(qū)間上的最大值不小于.

Answer 1

【答案】（1）的增區(qū)間為，，減區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）求出的導(dǎo)數(shù)，討論時(shí)，在R上遞增；當(dāng)時(shí)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；

（2）由條件判斷出，且，由求出，分別代入解析式化簡(jiǎn)，，化簡(jiǎn)整理后可得證；

（3）設(shè)在區(qū)間上的最大值M，根據(jù)極值點(diǎn)與區(qū)間的關(guān)系對(duì)a分三種情況討論，運(yùn)用單調(diào)性和前兩問(wèn)的結(jié)論，求出在區(qū)間上的取值范圍，利用a的范圍化簡(jiǎn)整理后求出M，再利用不等式的性質(zhì)證明結(jié)論成立.

（1）若，則，

分兩種情況討論：

①、當(dāng)時(shí)，有恒成立，此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

②、當(dāng)時(shí)，令，解得或，

當(dāng)或時(shí)，，為增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，

故的增區(qū)間為，，減區(qū)間為；

（2）若存在極值點(diǎn)，則必有，且，

由題意可得，，則，

進(jìn)而，

又，

由題意及（1）可得：存在唯一的實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，其中，

則有，故有；

（3）設(shè)在區(qū)間上的最大值M，表示x、y兩個(gè)數(shù)的最大值，

下面分三種情況討論：

①當(dāng)時(shí)，，

由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以在區(qū)間上的取值范圍是，

因此

，所以。

②當(dāng)時(shí)，，

由（1）、（2）知，，，

所以在區(qū)間上的取值范圍是，

因此

，

③當(dāng)時(shí)，，

由（1）、（2）知，，，

所以在區(qū)間上的取值范圍是，

因此

，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值不小于.