Question

【題目】某企業生產一種機器的固定成本(即固定投入)為0.5萬元，但每生產100臺時，又需可變成本(即另增加投入)0.25萬元．市場對此商品的年需求量為500臺，銷售的收入(單位：萬元)函數為，其中是產品生產的數量(單位：百臺)．

(1)求利潤關于產量的函數．

(2)年產量是多少時，企業所得的利潤最大？

Answer 1

【答案】（1）解：設年產量為，利潤為

………………6分

（2）解：由（1）知時，………………8分

時，=………………10分

當時，

故年產量為475臺時，工廠所得利潤最大………………12分

【解析】

（1）由于商品年需求量為，故要對產量分成不大于和大于兩段來求利潤.當時，用收入減掉成本，即為利潤的值.當時，成本和的表達式一樣，但是銷售收入是固定的，由此求得解析式.（2）兩段函數，二次函數部分用對稱軸求得其最大值，一次函數部分由于是遞減的，在左端點有最值的上限.比較兩段函數的最大值，來求得整個函數的最大值.

(1)當 0≤x≤5 時，產品能全部售出，

則成本為 0.25x＋0.5，收入為 5x－x2，

利潤 f(x)＝5x－x2－0.25x－0.5

＝－x2＋4.75x－0.5.

當 x>5 時，只能銷售 500臺，

則成本為 0.25x＋0.5，銷售收入為 5×5－×52＝，

利潤 f(x)＝－0.25x－0.5＝－0.25x＋12.

綜上，利潤函數 f(x)＝

(2)當 0≤x≤5時，f(x)＝－ (x－4.75)2＋10.781 25，

當 x＝4.75∈[0,5]時，f(x)max＝10.781 25(萬元)；

當 x>5 時，函數 f(x) 是遞減函數，則 f(x)<12－0.25×5＝10.75(萬元)．

10．75<10.781 25.

綜上，當年產量是 475臺時，利潤最大．