Question

【題目】如圖1，在直角梯形ADCE中，AD∥EC，∠ADC=90°，AB⊥EC，AB=EB=1， ．將△ABE沿AB折到△ABE1的位置，使∠BE1C=90°．M，N分別為BE1 ， CD的中點．如圖2．

（1）求證：MN∥平面ADE1；
（2）求證：AM⊥E1C；
（3）求平面AE1N與平面BE1C所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意，以E1為原點，E1B為x軸，E1C為y軸，過E1作平面E1BC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，

則M（ ，0，0），N（0，1， ），E1（0，0，0），A（1，0，1），D（0，1，1），

=（﹣ ，1， ）， =（1，0，1）， =（0，1，1），

設平面ADE1的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，1，﹣1），

∵ =﹣ =0，∴ ⊥ ，

又MN平面ADE1，∴MN∥平面ADE1．

（2）證明：C（0，1，0）， =（﹣ ，0，﹣1）， =（0，1，0），

∴ =0，

∴AM⊥E1C．

（3）解： =（1，0，1）， =（0，1， ），

設平面AE1N的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=2，得 =（2，1，﹣2），

又平面BE1C的法向量 =（0，0，1），

cos＜ ＞= = ，

∴平面AE1N與平面BE1C所成銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）由題意，以E1為原點，E1B為x軸，E1C為y軸，過E1作平面E1BC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明AM⊥E1C．（3）求出平面AE1N的法向量和平面BE1C的法向量，利用向量法能求出平面AE1N與平面BE1C所成銳二面角的余弦值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行)．