Question

【題目】對于函數，如果存在實數使得，那么稱為的線性函數.

（1）下面給出兩組函數，判斷是否分別為的線性函數？并說明理由；

第一組：

第二組:：

（2）設，線性函數為.若等式在上有解，求實數的取值范圍；

（3）設，取.線性函數圖像的最低點為.若對于任意正實數且.試問是否存在最大的常數，使恒成立？如果存在，求出這個的值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）第一組是，第二組不是，理由見解析；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）將三個函數的表達式代入，求出，的值；類似方法無法求出，的值；

（2）由已知得，從而在上有解，利用參變分離得，求出函數的值域，即為實數的取值范圍，從而得到的取值范圍；

（3）由題意得，，從而，，假設存在最大的常數，使恒成立，設，從而轉化為求的最小值即可．

（1）第一組：

，

解得：，所以，

第一組函數是，的生成函數．

第二組：設，

即，

則，該方程組無解．

不是，的生成函數．

（2）；，，生成函數，

，

在上有解，

在上有解，

，，

。

實數的取值范圍是．

（3）由題意得，，，則，

故，解得，，，

假設存在最大的常數，使恒成立．

于是設

，

設，又，則，即，

設，，

，，在上單調遞減，從而．

故存在最大的常數．