Question

(本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分)
設等比數列的前項和為，已知.
(1)求數列的通項公式；(2)在與之間插入個1，構成如下的新數列：，求這個數列的前項的和；、(3)在與之間插入個數，使這個數組成公差為的等差數列(如：在與之間插入1個數構成第一個等差數列，其公差為；在與之間插入2個數構成第二個等差數列，其公差為，…以此類推)，設第個等差數列的和是. 是否存在一個關于的多項式，使得對任意恒成立？若存在，求出這個多項式；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：(1)設，由知，，………2分
解得， ∴…………………………………………………………………4分
(2)依題意，到為止新的數列共有項，…………………6分
令，得，
即到為止新的數列共有項…………………8分
故該數列的前項的和為
（或）………………10分
(3)依題意，；
要使，則，…………………………………14分
∴，即存在滿足條件. ………16分

略