【題目】如圖，在直角梯形
中， 
， 
， 
．直角梯形
可以通過直角梯形
以直線
為軸旋轉(zhuǎn)得到，且平面
平面
．
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（I）求證： 
．
（II）求直線
和平面
所成角的正弦值．
（III）設(shè)
為
的中點(diǎn)， 
， 
分別為線段
， 
上的點(diǎn)（都不與點(diǎn)
重合）．若直線
平面
，求
的長．
【答案】（I）見解析；（II）
；（III）
.
【解析】試題分析：（I）由面面垂直定理得
面
，由線面垂直定理即可得出
.
（II）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面
的一個(gè)法向量為
，令
， 
，即可求出直線
和平面
所成角的正弦值．
（III）設(shè)
，由
，表示
， 
，
由
，，求得
，，即可求出MH的長.
試題解析：（I）∵
，
∴
，
∵平面
平面
且平面
平面
，
∴
面
，
∵
平面
，
∴
．
（II）由（I）知， 
平面
，
∴
， 
，
∵
，
， 
， 
兩兩垂直，
如圖，以
為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
∵
，
，
，
，
，
，
．
設(shè)平面
的一個(gè)法向量為
，
∴
，
∴
，
令
， 
，
設(shè)直線
與平面
所成角為
，
∵
，
，
．
（III）在以
為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系中，
， 
，
， 
，
．
設(shè)
，
，
∵
，
∴
，
，
，
若
平面
，
則
，即
，
，解得
，
∴
，
．
點(diǎn)睛:高考對(duì)空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：①求異面直線所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角；②求直線與平面所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角；③求二面角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標(biāo)系和表示出所需點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）當(dāng)
時(shí)，求函數(shù)
的圖象在
處的切線方程；
（2）若函數(shù)
在定義域上為單調(diào)增函數(shù).
①求
最大整數(shù)值；
②證明： 
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，各射擊
局，每局射擊
次，射擊命中目標(biāo)得
分，未命中目標(biāo)得
分，兩人
局的得分情況如下：
甲 |
|
|
|
|
乙 |
|
|
|
|
（Ⅰ）若從甲的
局比賽中，隨機(jī)選取
局，求這
局的得分恰好相等的概率．
（Ⅱ）如果
，從甲、乙兩人的
局比賽中隨機(jī)各選取
局，記這
局的得分和為
，求
的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（Ⅲ）在
局比賽中，若甲、乙兩人的平均得分相同，且乙的發(fā)揮更穩(wěn)定，寫出
的所有可能取值．（結(jié)論不要求證明）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】給出下列四個(gè)命題：
①將
， 
， 
三種個(gè)體按3:1:2的比例分層抽樣調(diào)查，若抽取的
個(gè)體為12個(gè)，則樣本容量為30；
②一組數(shù)據(jù)1、2、3、4、5的平均數(shù)、中位數(shù)相同；
③甲組數(shù)據(jù)的方差為5，乙組數(shù)據(jù)為5、6、9、10、5，那么這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲；
④統(tǒng)計(jì)的10個(gè)樣本數(shù)據(jù)為95,105,114,116,120,120,122,125,130,134，則樣本數(shù)據(jù)落在
內(nèi)的頻率為0.4.
其中真命題為（ ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，直三棱柱
中，
，
，
是
的中點(diǎn)，
是等腰三角形，
為
的中點(diǎn)，
為
上一點(diǎn)．
（I）若
平面
，求
；
（II）平面將三棱柱分成兩個(gè)部分，求較小部分與較大部分的體積之比．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為了解某地區(qū)中學(xué)生的身體發(fā)育狀況，擬采用分層抽樣的方法從甲、乙、丙三所中學(xué)抽取
個(gè)教學(xué)班進(jìn)行調(diào)查．已知甲、乙、丙三所中學(xué)分別有
， 
， 
個(gè)教學(xué)班．
（Ⅰ）求從甲、乙、丙三所中學(xué)中分別抽取的教學(xué)班的個(gè)數(shù)．
（Ⅱ）若從抽取的
個(gè)教學(xué)班中隨機(jī)抽取
個(gè)進(jìn)行調(diào)查結(jié)果的對(duì)比，求這
個(gè)教學(xué)班中至少有一個(gè)來自甲學(xué)校的概率．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（
），將
的圖象向左平移
個(gè)單位長度后得到
的圖象，且
在區(qū)間
內(nèi)的最大值為
.
（1）求實(shí)數(shù)
的值；
（2）在
中，內(nèi)角
， 
， 
的對(duì)邊分別是
， 
， 
，若
，且
，求
的周長
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】橢圓
： 
的離心率為
，過其右焦點(diǎn)
與長軸垂直的直線與橢圓在第一象限相交于點(diǎn)
， 
.
（1）求橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓
的左頂點(diǎn)為
，右頂點(diǎn)為
，點(diǎn)
是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)
與點(diǎn)
， 
不重合，直線
與直線
相交于點(diǎn)
，直線
與直線
相交于點(diǎn)
，求證：以線段
為直徑的圓恒過定點(diǎn).
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