Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB=2，F為CD的中點．
（1）求證：AF⊥平面CDE；
（2）求證：AF∥平面BCE；
（3）求四棱錐C-ABED的體積．

Answer 1

分析：（1）欲證AF⊥平面CDE，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證AF與平面CDE內兩相交直線垂直，而AF⊥CD，AF⊥DE，CD∩DE=D，滿足定理條件；
（2）取CE的中點G，連FG、BG，欲證AF∥平面BCE，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證AF與平面BCE內一直線平行即可，而AF∥BG，滿足定理；
（3）取AD中點M，連接CM，而CM⊥平面ABED，則CM為四棱錐C-ADEB的高，根據體積公式V=

1

3

CM•S_ABED求解即可．

解答：解：（1）證明：∵F為等邊三角形CD邊上的中點，
∴AF⊥CD，
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，
∴AF⊥DE，
又CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE．
（2）證明：取CE的中點G，連FG、BG．∵F為CD的中點，
∴GF∥DE且GF=

1

2

DE．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB．
又AB=

1

2

DE，∴GF=AB．
∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG．
∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，∴AF∥平面BCE．
（3）取AD中點M，連接CM，
∵△ACD為等邊三角形，則CM⊥AD，
∵DE⊥平面ACD，且DE?平面ABED，
∴平面ACD⊥平面ABED，
又平面ACD∩平面ABED=AD，∴CM⊥平面ABED，
∴CM為四棱錐C-ADEB的高，
∴V=

1

3

CM•S_ABED=

1

3

AF•S_ABED=

3

．

點評：本小題主要考查直線與平面垂直，以及棱柱、棱錐、棱臺的體積等基礎知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力．