Question

定義在R上的函數y=f（x）滿足條件：f（x）不是常值函數，且f（2-x）=f（x）與f（x-1）=f（x+1）對任意x∈R成立，給出下列四個命題：
①f（x）為周期函數；
②f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
③f（x）的圖象關于y軸對稱；
④f（x）的圖象關于原點成中心對稱．
其中所有正確命題的序號是

①②③

．

Answer 1

分析：在f（x）=f（2-x）中，令x=t+2：f（t+2）=f（-t），所以f（x+2）=f（-x），在f（x-1）=f（x+1）中，令x=t+1：f（t）=f（t+2），所以f（x）=f（x+2），故函數是周期為2的周期函數，f（x）的圖象關于直線x=1對稱，f（x）是偶函數；由f（x）的圖象關于直線x=1對稱，且f（x）的圖象關于y軸對稱，知f（x）的圖象不能關于原點成中心對稱．

解答：解：在f（x）=f（2-x）中，令x=t+2：f（t+2）=f（-t），所以f（x+2）=f（-x）
在f（x-1）=f（x+1）中，令x=t+1：f（t）=f（t+2），所以f（x）=f（x+2），
∴函數是周期為2的周期函數，f（x）的圖象關于直線x=1對稱，故①和②正確；
由f（x+2）=f（-x）和f（x）=f（x+2），知：f（-x）=f（x），所以f（x）是偶函數，故③正確；
∵f（x）的圖象關于直線x=1對稱，且f（x）的圖象關于y軸對稱，
∴f（x）的圖象不能關于原點成中心對稱，故④不正確．
故答案為：①②③．

點評：本題考查命題的真假判斷，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意函數的周期性和對稱性的靈活運用．