Question

已知半橢圓

x2

b2

+

y2

a2

=1 (y≥0)和半圓x²+y²=b²（y≤0）組成曲線C，其中a＞b＞0；如圖，半橢圓

x2

b2

+

y2

a2

=1 (y≥0)內切于矩形ABCD，且CD交y軸于點G，點P是半圓x²+y²=b²（y≤0）上異于A，B的任意一點，當點P位于點M(

6

3

，-

3

3

)時，△AGP的面積最大．
（1）求曲線C的方程；
（2）連PC、PD交AB分別于點E、F，求證：AE²+BF²為定值．

Answer 1

分析：（1）由題設條件知(

6

3

)2+(-

3

3

)2=b2，所以b=1，由此可知半圓x²+y²=b²（y≤0）在點M處的切線與直線AG平行，所以OM⊥AG，kAG=

2

=

a

b

，所以a=

2

，所以曲線C的方程為x2+

y2

2

=1 (y≥0)或x²+y²=1（y≤0）．
（2）設P（x₀，y₀），則有直線PC的方程為y-

2

=

y0- 2

x0-1

(x-1)，令y=0，得B₁，所以AE=2-

2 (x0-1)

y0- 2

；直線PD的方程為y-

2

=

y0- 2

x0+1

(x+1)，令y=0，得xF=-1-

2 (x0+1)

y0- 2

，BF=2+

2 (x0+1)

y0- 2

．由此入手能夠推導出AE²+BF²為定值．

解答：解：（1）已知點M(

6

3

，-

3

3

)
在半圓x²+y²=b²（y≤0）上，
所以(

6

3

)2+(-

3

3

)2=b2，又b＞0，
所以b=1，當半圓x²+y²=b²（y≤0）
在點P處的切線與直線AG平行時，
點P到直線AG的距離最大，
此時△AGP的面積取得最大值，
故半圓x²+y²=b²（y≤0）
在點M處的切線與直線AG平行，
所以OM⊥AG，又kOM=

yM-0

xM-0

=-

2

2

，
所以kAG=

2

=

a

b

，又b=1，所以a=

2

，（4分）
所以曲線C的方程為x2+

y2

2

=1 (y≥0)或x²+y²=1（y≤0）．
（2）點C(1，

2

)，點D(-1，

2

)，
設P（x₀，y₀），則有直線PC的方程為y-

2

=

y0- 2

x0-1

(x-1)，
令y=0，得x=1-

2 (x0-1)

y0- 2

，
所以AE=2-

2 (x0-1)

y0- 2

；
直線PD的方程為y-

2

=

y0- 2

x0+1

(x+1)，
令y=0，得xF=-1-

2 (x0+1)

y0- 2

，
所以BF=2+

2 (x0+1)

y0- 2

；
則AE2+BF2=[2-

2 (x0-1)

y0- 2

]2+[2+

2 (x0+1)

y0- 2

]2
=

4 x 2 0 +4

(y0- 2 )2

+

8 2

y0- 2

+8，
又由x₀²+y₀²=1，得x₀²=1-y₀²，
代入上式得AE²+BF²=

8-4 y 2 0

(y0- 2 )2

+

8 2

y0- 2

+8
=

8-4 y 2 0 +8 2 (y0- 2 )

(y0- 2 )2

+8
=

-4(y0- 2 )2

(y0- 2 )2

+8=4，所以AE²+BF²為定值．

點評：本題考查圓錐曲線的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答．