Question

已知橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1的一個焦點為F(0，2

2

)，與兩坐標軸正半軸分別交于A，B兩點（如圖），向量

AB

與向量

m

=(-1，

2

)共線．
（1）求橢圓的方程；
（2）若斜率為k的直線過點C（0，2），且與橢圓交于P，Q兩點，求△POC與△QOC面積之比的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用向量共線，確定a，b的關系，結合橢圓的焦點坐標，即可求得橢圓的方程；
（2）直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理，即可求得比值的范圍．

解答：解：（1）由向量

AB

與向量

m

=(-1，

2

)共線，可得

a

b

=

2

∵焦點為F(0，2

2

)，∴a²-b²=8，∴b²=8，a²=16
∴橢圓的方程為

y2

16

+

x2

8

=1；
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），且x₁＜0，x₂＞0，
PQ的方程為y=kx+2，代入橢圓方程消去y，可得（2+k²）x²+4kx-12=0
∴x₁+x₂=-

4k

2+k2

①，x₁x₂=-

12

2+k2

②
設△POC與△QOC面積之比為λ，即-

x2

x1

=λ
結合①②得（1-λ）x₁=-

4k

2+k2

，λx₁²=-

12

2+k2

∴

λ

(1-λ)2

=

3

4

(1+

2

k2

)＞

3

4

∴

1

3

＜λ＜3
∴△POC與△QOC面積之比的取值范圍為

1

3

＜λ＜3．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，正確運用韋達定理是關鍵．