Question

【題目】如圖，四棱錐中，側棱垂直于底面，，，為的中點，平行于，平行于面，.

(1)求的長；

(2)求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）取的中點，連接、，由三角形中位線定理，以及線面平行的判定定理可得平行于，平行于，于是可得為平行四邊形，所以，；（2）取中點，則垂直于，以點為原點，為軸，為軸，為軸建立坐標系，平面法向量為，利用向量垂直數量積為零，列方程組求得

平面法向量為，平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結果.

試題解析：(1)取的中點，連接、，

因為平行于，平行于，所以平行于，

所以四點共面，

因為平行于面，面與面交與，所以平行于，

所以為平行四邊形.

所以，.

(2取中點，則垂直于，因為平行于，所以垂直于，于是以點為原點，為軸，為軸，為軸建立坐標系，

由垂直于，垂直于，平面法向量為，

通過計算得平面的法向量為.經判斷知二面角為鈍角，于是其余弦為.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判斷與性質、利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.