Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，右焦點為F，右頂點為E，P為直線x= a上的任意一點，且（ + ） =2．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過F垂直于x軸的直線AB與橢圓交于A，B兩點（點A在第一象限），動直線l與橢圓C交于M，N兩點，且M，N位于直線AB的兩側，若始終保持∠MAB=∠NAB，求證：直線MN的斜率為定值．

Answer 1

【答案】解：（I）F（c，0），E（a，0），設P（ ，y），

則 =（ ，﹣2y）， =（c﹣a，0），

∴（ + ） =（c﹣ ）（c﹣a）=2，

∵橢圓的離心率e= ，∴a=2c，

∴c=1，a=2，b= = ，

∴橢圓C的方程為： =1．

（Ⅱ）直線AB的方程為x=1，代入橢圓方程得y=± ．

∴A（1， ），

設直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，

由題意可知△＞0，

設M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2= ，x1x2= ，

∵∠MAB=∠NAB，∴kAM+kAN=0，

∵kAM= = ，kAN= = ，

∴ + =2k+（k+m﹣ ） =2k﹣（k+m﹣ ） =0，

∴（4k﹣2）m+4k2﹣8k+3=0恒成立，

∴ ，解得k= ．

∴直線MN的斜率為定值 ．

【解析】（1）根據題意可得F（c，0），E（a，0），設P（ ，y）,由題中的向量關系，解出a，b，c，從而得到橢圓的方程，（2）由直線AB的方程為x=1，代入橢圓方程，得到A點坐標，設直線l的方程為y=kx+m，設M（x1，y1），N（x2，y2），將直線方程代入橢圓，根據韋達定理可得到x1+x2，x1x2，根據∠MAB=∠NAB，得到kAM+kAN=0，化解后得到（4k﹣2）m+4k2﹣8k+3=0恒成立，從而可得到k為定值.