Question

一個多面體的直觀圖及三視圖如圖所示：（其中M，N分別是AF，BC的中點）．
（1）求證：MN∥平面CDEF；
（2）求多面體A-CDEF的體積．

Answer 1

分析：由三視圖可知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，且底面是一個直角三角形，由三視圖中所標數據易計算出三棱柱中各棱長的值．
（1）取BF的中點G，連接MG、NG，利用中位線的性質結合線面平行的充要條件，易證明結論
（2）多面體A-CDEF的體積是一個四棱錐，由三視圖易求出棱錐的底面面積和高，進而得到棱錐的體積．

解答：解：由三視圖可知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，
且AB=BC=BF=2，DE=CF=2

2

，∴∠CBF=

π

2

．
（1）證明：取BF的中點G，連接MG、NG，
由M，N分別為AF，BC的中點可得，NG∥CF，MG∥EF，
∴平面MNG∥平面CDEF，又MN?平面MNG，
∴MN∥平面CDEF．

（2）取DE的中點H．
∵AD=AE，∴AH⊥DE，
在直三棱柱ADE-BCF中，
平面ADE⊥平面CDEF，
平面ADE∩平面CDEF=DE．∴AH⊥平面CDEF．
∴多面體A-CDEF是以AH為高，以矩形CDEF為底面的棱錐，在△ADE中，AH=

2

．
S矩形CDEF=DE•EF=4

2

，
∴棱錐A-CDEF的體積為
V=

1

3

•S_矩形CDEF•AH=

1

3

×4

2

×

2

=

8

3

．

點評：本題考查的知識點是簡單空間圖形有三視圖、棱錐的體積及直線與平面平行的判定．根據三視圖判斷幾何體的形狀及線面之間的位置關系及長度（面積）大小是解答的關鍵．