Question

【題目】若函數exf（x）（e≈2.71828…是自然對數的底數）在f（x）的定義域上單調遞增，則稱函數f（x）具有M性質．下列函數中所有具有M性質的函數的序號為 ．
①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：對于①，f（x）=2﹣x ， 則g（x）=exf（x）= 為實數集上的增函數；
對于②，f（x）=3﹣x ， 則g（x）=exf（x）= 為實數集上的減函數；
對于③，f（x）=x3 ， 則g（x）=exf（x）=exx3 ，
g′（x）=exx3+3exx2=ex（x3+3x2）=exx2（x+3），當x＜﹣3時，g′（x）＜0，
∴g（x）=exf（x）在定義域R上先減后增；
對于④，f（x）=x2+2，則g（x）=exf（x）=ex（x2+2），
g′（x）=ex（x2+2）+2xex=ex（x2+2x+2）＞0在實數集R上恒成立，
∴g（x）=exf（x）在定義域R上是增函數．
∴具有M性質的函數的序號為①④．
所以答案是：①④．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數單調性的性質和指數函數的圖像與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集；a0=1, 即x=0時，y=1，圖象都經過(0，1)點;ax=a，即x=1時，y等于底數a;在0<a<1時:x<0時，ax>1,x>0時，0<ax<1;在a>1時:x<0時,0<ax<1,x>0時，ax>1．