Question

設集合P={1，2，3，4，5}，對任意k∈P和正整數m，記f(m，k)=，其中[a]表示不大于a的最大整數。求證：對任意正整數n，存在k∈P和正整數m，使得f(m，k)=n。

Answer 1

證明略

證明：定義集合A={|m∈N*，k∈P}，其中N*為正整數集。由于對任意k、i∈P且k≠i，是無理數，則對任意的k₁、k₂∈P和正整數m₁、m₂，當且僅當m₁=m₂，k₁=k₂。由于A是一個無窮集，現將A中的元素按從小到大的順序排成一個無窮數列。對于任意的正整數n，設此數列中第n項為。下面確定n與m、k的關系。若，則。由m₁是正整數可知，對i=1，2，3，4，5，滿足這個條件的m₁的個數為。從而n==f(m，k)。因此對任意n∈N*，存在m∈N*，k∈P，使得f(m，k)=n。